Untersuchung des Aufnahmevorgangs


\(\\\)

Aufgabe 1 Parameter b

Zu Beginn des Aufnahmevorgangs, also bei \(t=0\) , erhalten wir nach Voraussetzung bei einem positiven \(k\)

\( \quad \begin{array}{ r c l } g_{b;k}(t) & = & k \cdot \left(1-e^{b \cdot 0}\right) \\[6pt] & = & k \cdot \left(1-e^{0}\right) \\[6pt] & = & k \cdot \left(1-1\right) \\[6pt] & = & 0 \\ \end{array} \)

\(\\\)

Die Koffeinkonzentration wäre gleich Null, was ja auch der Tatsache entspricht, dass bei Beginn der Koffeinaufnahme im Blut noch kein Koffein vorhanden ist.

Betrachten wir nun den Fall \(t > 0\) . Es muss gelten

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 1-e^{b \cdot t} & > & 0 & | + e^{b \cdot t} \\[6pt] 1 & > & e^{b \cdot t} & \\ \end{array} \)

\(\\\)

\(e^{b \cdot t}\) muss also stets kleiner als \(1\) sein. Weiter muss \(e^{b \cdot t}\) immer kleiner werden, damit \(g_{b;k}\) zunehmend größer wird und eine weitere Aufnahme stattfindet.

Dies ist der Fall, wenn \(e^{b \cdot t}\) einen negativen Exponenten hat:

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\(\\\) Da \(t > 0\) ist muss \(b < 0\) sein.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Parameter k

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Die Funktion

\( \quad g_{b;k}(t) = k \cdot \left(1-e^{b \cdot t}\right) \)

\(\\\)

beschreibt ein begrenztes Wachstum. Dabei stellt \(k\) die obere Grenze des Wachstums dar. Das heißt, dass die Koffeinkonzentration von \(k=0{,}02 \, \frac{mg}{ml}\) das Maximum ist, dass vom Blut aufgenommen wird.

Der Koffeinkonzentration errechnet sich wie folgt:

\( \quad \frac{100 \, mg}{5 \, l} \, = \, \frac{100 \, mg}{5000 \, ml} \, = \, \frac{1 \, mg}{50 \, ml} \, = \, 0{,}02 \, \frac{mg}{ml} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Summe der quadrierten Differenzen

Wir definieren die Funktion \(g\) mit \(b=-0{,}07\) und \(k=0{,}02\)

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und berechnen die Summe der Differenzenquadrate, wobei wir von der Differenz

\( \quad \textit{Messwert - Funktionswert} \)

ausgehen.

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\(\\\) Die Summe der quadrierten Differenzen ist also \(0{,}0000001741218737 \; \frac{mg}{ml}\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 4 Grund angeben

Damit Messdaten durch eine Funktion möglichst gut beschrieben werden, möchte man eine möglichst geringe Abweichung zwischen den Messwerten und den Funktionswerten erreichen. Ein Maß für die Streuung der Messwerte um die Funktion ist die Standardabweichung. Die Standardabweichung drückt die durchschnittliche Abweichung der Messwerte von den Funktionswerten aus.

Man könnte nun einfach die Differenzen der Messwerte und der Funktionswerte mitteln. Allerdings liegen die Messwerte zum Teil über und zum Teil unter der Funktion. Wir hätten also sowohl positive als auch negative Differenzen, so dass die Differenzen sich teilweise gegenseitig aufheben würden. Damit erhalten wir bei der Berechnung der durchschnittlichen Differenz einen falschen Mittelwert.

Statt dessen quadriert man die gewonnenen Differenzen. Diese Werte sind stets positiv. Den Mittelwert dieser quadratischen Abweichungen nennt man die Varianz. Wir erhalten nun die richtige Standardabweichung, indem wir die Quadratwurzel aus der Varianz ziehen.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 5 Parameter b bestimmen

Eine möglichst gut Beschreibung der angegebenen Messwerte mithilfe der Funktion \(g_{b ; 0{,}02}\) bedeutet, dass die Standardabweichung und die Varianz, das heißt die Summe der quadrierten Differenzen, möglichst gering ist.

Wir ermitteln also das \(b\) , so dass diese Summe minimal wird. Dazu definieren wir \(g_{b ; 0{,}02}\) mit

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\(\\\)

und weiter die Summe der quadrierten Differenzen mit

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\(\\\)

Für das Minimum der Summe der quadrierten Differenzen muss \(s'(b)=0\) sein. Wir definieren die erste Ableitung und berechnen \(b\).

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\(\\\)

Damit bei \(b=-0{,}066991\) auch wirklich ein Minimum vorliegt, muss die 2. Ableitung von \(s\) größer als Null sein. Wir überprüfen dies nun.

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Die 2. Ableitung für den Wert von \(b=-0{,}066991\) ist größer als Null. Folglich ist \(g_{b ; 0{,}02}\) mit dem Wert \(b \approx -0{,}07\) eine gute Beschreibung der Messwerte.

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